超声谐振器设计知识库Ultrasonic Resonator Design

机械—电学类比

机械振荡系统与电振荡系统具有相似的特性。本页将建立机械—电学类比关系。

机械振荡

质量-弹簧-阻尼器系统
图 1. 质量-弹簧-阻尼器系统

对于图 1 所示的简单质量-弹簧-阻尼器系统，其运动方程为 —

\begin{align} \label{eq:14801a} F(t) &= m \, \frac{d^2u}{dt^2} + c \, \frac{du}{dt} + k \, u \\[0.7em]%eqn_interline_spacing &= m \, \ddot{u} + c \, \dot{u} + k \, u \nonumber \end{align}

式中 —

\( F(t) \) = 激励函数
\( u \) = 位移
\( \frac{du}{dt} \) = 速度（\(\dot{u}\)）
\( \frac{d^2u}{dt^2} \) = 加速度（\(\ddot{u}\)）
\( m \) = 质量
\( c \) = 阻尼常数（粘性）
\( k \) = 弹簧刚度

注：在机械系统中可能存在多种阻尼。上述方程假设为粘性阻尼，即阻尼力与速度成正比。

运动质量因其速度而储存的能量为 —

\begin{align} \label{eq:14802a} W_m = \frac{1}{2} \, m \, \dot{u}^2 \end{align}

弹簧因其拉伸而储存的能量为 —

\begin{align} \label{eq:14803a} W_k = \frac{1}{2} \, k \, u^2 \end{align}

阻尼器耗散的功率为 —

\begin{align} \label{eq:14804a} P_c = c \, \dot{u}^2 \end{align}

谐振频率为 —

\begin{align} \label{eq:14805a} f = \sqrt\frac{k}{m} \end{align}

电振荡

简单的电感-电容-电阻电路
图 2. 简单的电感-电容-电阻电路

对于图 2 所示的简单电感-电容-电阻电路，其电路方程为 —

\begin{align} \label{eq:14820a} V(t) &= L \, \frac{d^2q}{dt^2} + R \, \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} \, q \\[0.7em]%eqn_interline_spacing &= L \, \ddot{q} + R \, \dot{q} + \frac{1}{C} \, q \nonumber \end{align}

式中 —

\( V(t) \) = 电压函数
\( q \) = 电荷
\( \frac{dq}{dt} \) = 电流（\(\dot{q}\)）
\( \frac{d^2q}{dt^2} \) = zzz（\(\ddot{q}\)）
\( L \) = 电感
\( R \) = 电阻
\( C \) = 电容

电感因电荷运动而储存的能量为 —

\begin{align} \label{eq:14851a} W_L = \frac{1}{2} \, L \, \dot{q}^2 \end{align}

电容因储存电荷而储存的能量为 —

\begin{align} \label{eq:14852a} W_C = \frac{1}{2} \, \frac{1}{C} \, q^2 \end{align}

电阻耗散的功率为 —

\begin{align} \label{eq:14853a} P_R = R \, \dot{q}^2 \end{align}

谐振频率为 —

\begin{align} \label{eq:14854a} f = \sqrt\frac{1}{L \, C} \end{align}

对比

对比相应的机械方程与电学方程，可以明显看出以下类比关系。这些类比在讨论换能器等效电路时特别有用。
表 1. 机械—电学类比
机械量 电学量
\( m \) \( L \)
\( k \) \( \frac{1}{C} \)
\( c \) \( R \)
\( u \) \( q \)
\( \dot{u} \) \( \dot{q} \) (= \( i \))
\( \ddot{u} \) \( \ddot{q} \) (= \( \dot{i} \))

注意，机械刚度 \( k \) 的类比量是电容的倒数 \( 1/C \)。因此，增大电容会降低刚度。所以电容也类比于机械柔度。